Pivařka: Pivní výpočty hrou (Sycení piva)

aneb Ztracené umění nomografie

Jak jsem nedávno sliboval, přináším Vám první ochutnávku z připravované knihy Pivařka - Tajemství domácího pivovarnictví. Samozřejmě Vás jistě bude zajímat, kdy kniha vyjde. Přesný datum samozřejmě nikdo z nás neví, nicméně musíme mít do konce roku hotovo, pak už je míč na straně vydavatele (nakladatelství Jota). Můžeme však předpokládat, že do léta by měla být kniha na pultech. Do té doby bude určitě dobré využít čas a představit si některé věci, které nejsou v knihách úplně běžné a budou pevně doufám velkou devizou Pivařky. Dnes si představíme právě zmíněné NOMOGRAMY. Jestli jste toto slovo nikdy neslyšeli, rozhodně se nebojte, brzy si ho vysvětlíme. Slovo samotné může vypadat složitě a nabubřele, ale za chvíli sami pochopíte, že pro Vás samotné je používání nomogramů ta nejjednodušší možná metoda provádění výpočtů. Když se vám tato metoda bude líbit, již teď vám nabídnu dva plně funkční nomogramy v kvalitě pro používání při každém vaření.

Níže naleznete nomogramy: Výpočet množství dextrózy pro nasycení piva a Výpočet tlaku vhodného pro nasycení piva

Nomogramy budou však samozřejmě až za odměnu na konci článku... Musíme si totiž nejdřív vysvětlit, co jsou, jak vznikly a jak je používat. Vytvoříme si tak pevnou půdu pod nohama a až kniha vyjde nebudete překvapeni, co to tam je za čmáranice...

Než se pohodlně usadíte k obrazovce, připravte si pravítko... nebo kus něčeho rovného.

Vím dobře, že některé pivovarnické výpočty a vzorce jsou pro běžného smrtelníka (třeba 20 let po posledním styku s matematikou) téměř nepřekonatelný oříšek. Jak už jsem Vám předesílal, existují i jiné možnosti, jak ledacos vypočítat a zároveň se u toho neztratit v matematice. Jsou případy, kdy už k výpočtům nestačí pouze obyčejná kalkulačka, která umí sčítat, odčítat, násobit a dělit. V tu chvíli potřebujeme lepší kalkulačku, nebo nejlépe tabulkový procesor na počítači. A nebo třeba NOMOGRAMY!

Co je to nomogram? Srovnání s dalšími metodami.

Než se skutečně pustíme do hravého počítání, musím vysvětlit, co to je takový nomogram. Asi si myslíte, že jste se s takovým slovem zatím nikdy nesetkali, ale zdání zde velmi klame. Nomogramy pravděpodobně každý potkáváme zcela denně.

Venku je letní teplý den a mi si říkáme kolik je asi stupňů a běžíme k teploměru. Ejhle, máme tu nomogram. Většina teploměrů má dvě stupnice, pokud si tedy přečteme kolik je °C, můžeme si hned vedle přečíst kolik je ve °F. Takže díky této dvojité stupnici vlastně můžeme převádět mezi °C a °F , aniž bychom si museli někde hledat převodový vztah. To samé můžeme pozorovat na většině skládacích metrů. Ten má často také dvě stupnice – cm a palce. Opět díky této dvojité škále můžeme nejen měřit v obou veličinách, ale také mezi nimi převádět. Vůbec nemusíme znát kolik je palec centimetrů. Prostě si snadno přečteme, kolik se vejde palců do jednoho metru hned naproti… Určitě by Vás napadla celá řada dalších příkladů. Všechny tyto dvojité stupnice jsou nejednoduššími nomogramy.

Nomogram je tedy grafická (geometrická) pomůcka k výpočtu vztahů mezi několika veličinami (minimálně 2). Nomogramy však umějí počítat mnohem víc a mohou mít mnohem složitější tvary. V tomto článku se setkáme s nomogramy, jež slouží k výpočtu rovnic se třemi veličinami.

Asi jsme již všichni někdy potkali vyjádření dat pomocí grafů. Pokud máme již  tři veličiny, byl by takový graf 3D plocha, což samozřejmě nejsme schopni na 2D stranách příliš dobře vykreslit. Už vůbec z takového grafu nic neodečteme. Můžeme si sice volit různé parametry a vykreslit několik závislostí do 2D grafu, v takovém grafu se občas snadno ztratíte. Naproti tomu se nomogramy zdají svou jednoduchostí téměř jako zázrak.

Teď vám to hodlám demonstrovat na příkladu nasycení piva pomocí dextrózy. Množství dextrózy, které bychom měli použít pro nasycení piva, je závislé na teplotě lahvovaného piva a plánovém nasycení. Běžně používaných 6 g/L platí pro běžné nasycení (kolem 4-5 g/L CO2) a teplotu 20 °C. Pokud máme jinou teplotu, nebo chceme jiné nasycení měli bychom tuto běžnou hodnotu upravit. Trochu více teorie kolem toho si teď schován až do Pivařky a teď se rovnou podíváme na jednotlivé přístupy, které jsem výše popisoval abychom si demonstrovali co umí takový nomogram. Jen ještě připomínám tabulku nasycení různých pivních stylů z minulého článku o nasycení.

Tabulka běžného nasycení pro různé pivní styly. (Pozn. g/L = 1,96 Volumes)

Máme tedy v zásadě pět možností: 1) čistý výpočet (nebudu ukazovat) 2) 3D graf 3) parametrický graf 4)  tabulka 5) nomogram. Ukážeme si tedy jak dopadne takový obrázek výsledku jednotlivých možností, když chceme znázornit množství potřebné dextrózy v závislosti na nasycení a teplotě.

Možnost 1: Výpočet podle rovnic 

první rovnice pro počáteční obsah CO₂ v pivě (dosadíme teplotu) a druhá pro hmotnost dextrózy dosadíme výsledek první rovnice za CO₂⁰ 

  

Možnost 2) 3D graf                                                       

  Možnost 3) Parametrický graf

Možnost 4) Tabulka

Možnost 5) NOMOGRAM

Teď si všichni snadno můžeme udělat obrázek o tom, jak vypadá ten stejný problém vyjádřenéý různým způsobem. Vzorce se mnoho lidí zalekne, ale všechny další metody pouze tento vzorec interpretují, takže je uvnitř těch obrázků ten samý vzorec skryt. Pouze jsem tu matematiku udělal za Vás a tady je výsledek.

V 3D grafu je daleko nejvíce různých hodnot, avšak jak sami vidíte nedá se z něj odečítat...Pro naše účely je tedy nepoužitelný. Z parametrického grafu lze odečítat poměrně snadno, ale pokud máme vynesenu závislost pro málo parametrů (jako je tomu i tady), tak se často stane, že výsledek budeme muset hledat někde mezi jednotlivými čarami a to může být nepřehledné a také nepřesné. Pokud máme naopak parametrů mnoho, tak se snadno ztratíme. Tabulka je na tom velmi podobně, protože obvykle nemáme dostatek potřebných řádků a sloupečků. Pokud ano je tabulka velmi rozsáhlá a obtížně se v ní hledá. Asi sami vidíte, že ze všech prezentovaných forem nám nomogram poskytuje nejširší škálu možných hodnot. V tomto případě je v něm dokonce snadno skryt i mezivýpočet počáteční koncentrace oxidu uhličitého v závislosti na teplotě. Správná vypočtená hodnota se jednoduše určí propojením čarou nalezených hodnot. Uprostřed máme výsledek... No není to zázrak?

Pozn. Není potřeba spojovací čáru kreslit. Stačí na papír přiložit pravítko. Ano, ne každý máte zrovna po ruce pravítko. Není důležité co to je. Pouze to musí být rovné :-). Takže funguje cokoliv od papíru až po řidičák...

Trocha historie - Ztracené umění nomografie

V devatenáctém a dvacátém století byly nomogramy široce využívány v každé technické praxi, protože pro problémy, které řešíme velmi často, je to velmi elegantní a rychlé řešení. S příchodem a rozvojem počítačů ztratila tato grafická metoda počítání prakticky na důležitosti. Všichni, kteří hojně nomogramy využívali, přesídlili před obrazovky počítačů. S tím se také postupně vytratili lidé, kteří umějí nomogramy sestrojit. Informací o nomogramech je tak dnes jako šafránu. Sestrojit funkční nomogram je tak trochu o geometrii a matematice, ale obrovskou část bychom rozhodně mohli nazvat spíš jako umění. Když jsem se rozhodl, že je to přesně to koření, které Pivařka potřebuje, byl jsem poměrně zoufalý ohledně hledání informací o nomogramech. Naštěstí jsem po delším pátrání na internetu objevil vynikající článek jistého Rona Doerflera s příznačným názvem – The Lost Art of Nomography. Ronovi tak pravděpodobně vděčím za to, že jsem do tajů nomografie alespoň trochu pronikl. Takže díky Rone!

Tipy pro práci s nomogramy

Dávejte pozor na měřítka os. Ne vždy jsou jednotlivé dílky stejně daleko od sebe. Některé složitější nomogramy mají například logaritmické měřítko, z čehož plyne, že se na jedné ose může i v různých částech nacházet jiná nejmenší jednotka. Zde však platí jednoduchá pravidla, kterými se snažím co nejvíce zpřehlednit nomogramy. Využívám tři délky úseček, jež označují na ose hodnotu. U nejdelší se nachází vždy číselný popisek hodnoty, podle ní se tedy zorientujeme tak, že najdeme dvě hodnoty, mezi kterými se naše hledaná hodnota nachází. Střední délka čáry značí vždy přesně poloviční hodnotu mezi nejbližšími dlouhými čarami. Nakonec jsou tu nejkratší čárky, které ještě dělí úsek mezi středními čarami na stejně velké úseky hodnot. Nebojte ve skutečnosti je to jednodušší, než se zdá z tohoto popisku.

Pokud se trefíte na ose někde mezi dvě čárky, bohatě postačí se s ničím více netrápit a hodnotu odečíst na nejbližší z nich. Vždy se totiž jedná o odhady s menší přesností, než je nejmenší dílek. To také mimo jiné znamená, že i když na počítači ze vzorce dostaneme hodnotu klidně na deset desetinných míst, neznamená to, že je to hodnota bližší realitě, než to co odečteme z nomogramu. Tak jako tak je to odhad s nějakou chybou.

Nomogramy mají i své limity měřítka, a tak zde např. nenajdete hodnoty pro nasycení větší než 6 g/L, což přichází v úvahu pouze výjimečně. Zpravidla jsem se snažil pokrýt všechny případy, které by běžný domovarník potkává. Samozřejmě však nelze pokrýt všechny abnormality.

Pamatujte, že nomogram může být sice velký pomocník, avšak není všemocný. Není totiž nic víc než graficky znázorněným vzorcem… Výhodou je to, že matematiku jsem Vám převedl do geometrie a vy už si jen "hrajete s pravítkem".

PŘÍKLADY VÝPOČTU NASYCENÍ PIVA S NOMOGRAMY

Pojďme si tedy ukázat příklad výpočtu nasycení pomocí nomogramu. Aby to nebylo líto Vám, kteří používáte nucené sycení, nebo zbytkový cukr s hradícím ventilem, zařadím zde rovnou i nomogram pro tento případ... V článku si ukážeme, jak se v nomogramu pracuje, avšak kvalita obrázku ze stran blogu je nevalná, proto vám na konci textu poskytnu odkaz, odkud si můžete nomogramy stáhnout v plné kvalitě a vytisknete si je na A4 k vašemu použití při vaření.

Př. Máme 20 litrů piva, které nám prokvasilo při teplotě 15 °C. Chceme dosáhnout nasycení 4,9 g/L. Kolik dextrózy máme použít?

Spojíme tedy zamýšlenou koncentraci nasycení na ose vlevo s teplotou na ose vpravo a uprostřed na žluté ose odečteme výsledek.

Hned vidíme, že bychom měli použít přibližně 6,7 g dextrózy na 1 L piva. To znamená 3,35 g/0,5 L,. Pokud používáme cukr najednou do celého objemu piva a poté teprve lahvujeme dostáváme celkem 6,7 * 20 = 134 g detrózy. Jednoduché jako facka, ne?

EDIT: Jen jsem zapomněl podotknout, že nomogram je určen skutečně pouze pro dextrózu. Dávkování jiných cukrů jako je sacharóza a DME je trochu jiné, protože trochu jinak zkvašují (u dextrózy to je vlastně jen proto, že obsahuje i vodu). Nicméně jsem samozřejmě myslel i na vás "nedextrovače", ale nemá smysl konstruovat další podobný nomogram, když většina lidí používá stejně dextrozu. Tudíž použijte tento nomogram také, pokud používáte sacharózu (běžný cukr) tak výsledek nomogramu vynásobte číslem 0,91 a pokud používáte sušený výtažek (DME) tak vynásobte 1,39.

Př.: Kyvetu máme za teploty 8 °C v lednici a chceme dosáhnout běžného nasycení 4,9 g/L CO₂. Jaký tlak máme nastavit na redukčním ventilu tlakové lahve?

Ihned tedy víme, že je potřeba nastavit na redukčním ventilu tlak přibližně 1,0 Bar. Mohlo by se Vám zdát, že jsou jednotky v této oblasti daleko od sebe, avšak je to tak schválně, protože na redukčním ventilu stejně nenastavíme tlak přesněji než 0,1 bar.

ZÁVĚREM

Už si tedy asi dokážete představit, co takový nomogram je a jaké možnosti nám nabízí. Věřím tedy, že se nomogramy budou těšit oblibě a stanou se velmi cenou součástí Pivařky. Problémy jako je právě nasycení, najdete obvykle ve formě rozsáhlých tabulek, které já osobně nemám rád, protože se v nich obvykle těžko vyznám a dlouze se v nich hledá. Naproti nomogram je poměrně zábavná pomůcka, z které jde i hodnoty odečíst mnohem podrobněji než z tabulky - není to magie, ale pouze geometrie ;-)

Do samotné Pivařky mám připraveno mnoho dalších nomogramů - ABV, korekce Brix, reálný extrakt, výživovou hodnotu, korekce hustoty na teplotu, množství DME, LME nebo cukru k přípravě roztoku o dané síle, kompletní výpočet hmotnosti sypání včetně efektivity, výpočet barvy piva, výtěžnost hořkých látek během chmelovaru (pro IBU), velikost starteru, target gravity (konečná hodnota po prokvašení) a samozřejmě tyto dva nomogramy z tohoto článku. Myslím, že se tedy máte na co těšit! Tak co, jak se Vám nomogramy líbí? Nějaké další nápady?

PS: Nomogram lze využít na všechny strany. To znamená, že jakákoli kombinace dvou veličin vede protažením čáry na třetí osu k výsledku.  Když místo toho použijeme samotný vzorec, musíme si postupně z rovnice vyjádřit jednotlivé proměnné, což už je často za hranicemi našich matematických schopností.

PS2: Samozřejmě už přemýšlíte, že jsem vám zapomněl poskytnou ty slibované nomogramy. Nezapomněl. Uvědomte si však kolik je v těchto věcech práce. To, že Vám je poskytuji ještě před vydáním knihy, je z mé dobré vůle a kvůli propagaci zajímavého tématu. Byl bych tedy velmi nerad, kdybyste tyto grafy samovolně šířili po internetu. Pokud je chcete někomu doporučit, odkažte ho na tento článek. Protože jsem nomogramy vytvořil sám a nikde jinde je nemůžete nalézt, vztahují se na ně samozřejmě autorská práva. Právě protože dávám všem možnost přístupu k nomogramům ve výborné kvalitě, myslím, že nemá nikdo reálný důvod s těmito grafy jakkoli kupčit. ODKAZ ZDE

Petr Novotný

Poděkování: Rád bych poděkoval za konečnou grafickou úpravu nomogramů dvornímu grafikovi Pivařky Radku Michelovi. Díky Radku!

zdroj dat rovnováhy CO2 v pivě: http://braukaiser.com/wiki/index.php?title=Carbonation_Tables (přístup 29/8/2016)