Cesta hořkých látek 4. díl: Počítáme IBU s novým modelem

aneb kompletní manuál s příklady a programem

V předchozím díle tohoto ambiciózního seriálu jsme spolu prošli celý můj myšlenkový a matematický postup odvození nového modelu odhadu IBU piva. Pro mnohé z vás byl tento článek asi nestravitelný, ale bylo to nutné matematické zlo, bez kterého bychom nemohli přijít s něčím novým a zároveň smysluplným. Tento díl seriálu bude ale pouze o praxi a používání této metodiky, tudíž informace jsou zde pojaty jako manuál k používání pro všechny zájemce, kteří chtějí počítat lépe, smysluplněji a také se i z výsledků něčemu naučit o chmelovaru.

Problém, který v tomto seriálu řeším, není nový, a tak se není čemu divit, že nejsem první domovarník, který se mu věnoval. Troufám si však říci, že ať hledám, jak hledám, tak jsem asi jediný, který tento problém solidně vyřešil. V můj prospěch totiž hraje fakt, že mám odpovídající vysokoškolské vzdělání z chemie a inženýrství. Po nastudování některých pokusů mých kolegů na internetu, kteří problém řešili zavedením dalších „opravných koeficientů“ Tinsethovy formule a nastudování odborné literatury, jsem totiž zjistil, že skutečným řešením toho problému není opravování starých metod a vzorců, ale posunutí výpočtu blíže ke skutečné podstatě a průběhu dějů během chmelovaru. To si vyžádalo kompletní přepracování způsobu výpočtu, který je teď  hony vzdálen od Tinsethovy formule. Výsledky tohoto snažení si tedy v praxi ukážeme právě v tomto dílu seriálu.

I když se nový postup může zdát příliš složitý, je ve skutečnosti velmi systematický a s použitím Excelu i jednoduchý. Věřím tedy, že moje práce není pouze křikem do prázdna a má potenciál se prosadit v běžném domovarnickém životě. Má práce na tomto modelu však není a asi nebude v dohledné době zcela dokončena, protože posledním článkem skládačky jsou vlastní data získaná moderní profesionální metodikou. Vypadá to však nadějně, protože budu mít brzy přístup k odpovídající technice, a tak si snad najdu čas a možnosti… Do té doby nám však nebrání využít současných literárních dat a využívat metodiku již teď, pojďme tedy na to!

Jak s modelem zacházet?

Pozn. V této kapitole ukáži, jak si můžete pomocí modelu počítat. Najdou se pravděpodobně tací, v jejichž možnostech a schopnostech není tento postup následovat. Například pokud nejste příliš zdatní s počítačem. Nic se neděje a vůbec z toho nesmutněte. Na konci tohoto článku se nachází odkaz na hotovou kalkulačku pro tyto výpočty a taky na manuál, jak ji používat.

Protože je náš model nelineární diferenciální rovnicí, nelze řešit analyticky (pokud se mění teplota). Musíme tedy využít tzv. numerické integrace. Asi jste si všimli, že grafy v mých článcích zatím nepocházejí z Excelu. Já totiž používám MATLAB, který má mnoho šikovných nástrojů na řešení právě těchto problémů. Pokud někteří z vás umějí v MATLABu, můžete nalézt kódy programů, které jsem napsal ZDE.

Předpokládám ale, že většina z vás nikdy o MATLABu neslyšela a ani k němu nemá přístup. V základu nám pro výpočet ale stačí i obyčejný Excel. Ukažme si tedy, co to vůbec znamená numerická integrace, a uvidíte, že nepotřebujeme až tak profesionální nástroje a znalosti, jak by se mohlo zdát.

Podívejme se na člen, který popisuje úbytek alfa hořkých látek v našem modelu:

Symbolicky to vypadá nesrozumitelně, avšak vlastně je to jen rychlost zániku α-hořkých látek. S rychlostmi můžeme pracovat v principu stejně, jak jsme ze života zvyklí. 

Představme si to na cestování autem: pokud víme, že jedeme rychlostí 30 km/h, tak můžeme odhadnout, že za půl hodiny bychom měli touto rychlostí dorazit do 15 km vzdáleného města. Během té doby, ale budeme muset rychlost pravděpodobně během jízdy měnit, a tak do města dorazíme v trochu jiný čas, než jsme původně odhadovali – pozdě nebo brzy (v realitě ale VŽDY pozdě díky Murphyho zákonům - asi jako když máte cestu do práce naplánovanou na minuty přesně, ale co čert nechtěl, potkáte všude červenou, průvod z mateřské školy na přechodu a zácpu J ).

Pokud ale budeme chtít vědět, za jak dlouho aktuální rychlostí ujedeme třeba 100 m, tak vypočtený výsledek bude realitě pravděpodobně velmi blízký, protože víme, že za tak krátkou dobu se nestane žádná zásadní komplikace v naší jízdě a naše rychlost bude poměrně stabilní.

Takový výpočet má ještě jedno, asi mnohem atraktivnější, přirovnání. Vlastně tak trochu věštíme budoucnost. Předpovídáme to, co teprve bude, na základě informací, které máme k dispozici právě teď J.

Stejně tak je tomu s tímto úbytkem hořkých látek a způsobem výpočtu. Na začátku víme, kolik jsme přidali hořkých látek c_A a jakou máme teplotu, tudíž můžeme vypočítat rychlost úbytku , představme si tedy, že jsme třeba dali 100 mg/L hořkých látek a vaříme při 100 °C:

To tedy znamená, že za jednu minutu ztratíme asi 2 mg/L hořkých látek. Za 1 minutu od přídavku budeme mít tedy v roztoku už jen přibližně 98 mg/L alfa-hořkých-látek. Není však dobré hned z tohoto údaje předpokládat hodnotu po 60 minutách, ale stejně jako v autě musíme volit pro náš odhad kratší časové úseky. Tento postup můžeme pak opakovat tak dlouho až postupně dosáhneme času, který nás zajímá. Čím menší časový krok výpočtu zvolíme, tím přesnější bude výsledek, ale také budeme potřebovat mnohem více výpočetních kroků. Pokud bychom hypoteticky udělali časové kroky nekonečně malé, tak by náš výsledek byl přesným řešením rovnice a analytické řešení a numerický výsledek by byly stejné.

Naším cílem je tedy zvolit krok takový, aby výsledek byl přesný, ale zároveň jsme nemuseli provádět příliš mnoho výpočtů (pro naše případy stačí, když si čas rozvrhneme alespoň na 100-200 kroků). Stejným způsobem se stavíme i k výpočtu koncentrace iso-α-hořkých látek a degradačních produktů. Takové množství výpočtů samozřejmě nebudeme dělat v ruce, ale využijeme Excel. Ukažme si alespoň pár prvních kroků na příkladu a uvidíte, že to není tak složité:

Příklad 1: Přídavek α-hořkých látek je 100 mg/L a teplota je 100 °C. Vypočtěte koncentraci všech látek po 6 minutách od přídavku.    

Vypočteme nejprve rychlostní konstanty pro tuto teplotu: rovnou vidíme, že jsou k₁=0,02085 a k₂=0,00952. Na počátku nejsou ve směsi žádné iso-látky, ale pouze náš přídavek, takže první krok výpočtu je určení počátečních rychlostí změn koncentrací:

Teď z rychlostí vypočteme nové koncentrace látek na počátku 2 minuty varu:

A teď opět vypočteme nové rychlosti a postup opakujeme… Zkuste si to dále už sami v Excelu, pro kontrolu vám však uvádím tabulku výsledků do šesté minuty, abyste věděli, že vše děláte správně.

Tento výpočet také naleznete v souboru, který si můžete stáhnout ZDE.

Pokud se nám během času mění i teplota (například chladíme mladinu), musíme navíc v každém časovém kroku vypočítat nové hodnoty rychlostních konstant, jinak je postup naprosto stejný. Změnu teplot nebudeme uvažovat skokovou, ale spíše lineární a zapracování teploty do výpočtu si ukážeme v dalším příkladu:

Příklad 2: Stejné počáteční podmínky jako v předchozím příkladu. Začínáme při bodu varu, ale poté rychle ochladíme během 10 minut na teplotu 70 °C a pak opět během 10 minut ohřejeme zpět k varu. Tentokrát zvolíme menší časový krok 0,5 minuty.

Nejprve si vypočteme rychlost chlazení: (100-70)/10=3°C za minutu, stejně rychlý je i ohřev. Pak postupujeme stejně jako v předchozím příkladu s tím, že máme ještě navíc teploty a rychlostní konstanty, což jistě zvládnete i sami a tady je výsledek:

TIP: teploty řešíme stejně pomocí rychlostí, jako počítáme koncentrace. Rychlostní konstanty vypočtete z těchto vztahů:

V tabulce jsem uvedl pouze první pár kroků tohoto výpočtu, protože zbylé kroky včetně přesného výpočtu, můžete nalézt v Excelovém souboru ZDE. Na grafech je dobře vidět jedna důležitá věc. Jak nám teplota klesá k 70 °C při 10 minutách, tak výrazně klesá rychlost reakce, což se projevuje na prohnutí křivek, které mají poté tvar S. Postupem zahřívání se rychlost opět zvyšuje.

Už jsme se tedy naučili, jak model využít a vypočítat průběh koncentrací i při změně teplot, což nám právě umožňuje tento nový model výpočtu. Poslední věcí, s kterou se ještě tedy musíme naučit počítat je vícenásobné chmelení, protože málokdy přidáváme chmel pouze jedním přídavkem. Tady máme dvě možnosti – ve specifických časech chmelení přidáme odpovídající množství α-látek k předchozí vypočtené hodnotě, nebo budeme počítat pro každý chmel zvlášť a výsledky sčítat. Pojďme si to tedy opět ukázat na příkladu, který bude teď již zcela reálný, takový jaký vás může potkat při vaření.

Příklad 3: Provádíme chmelovar 60 min a chmelíme na třikrát – 60 min, 30 min a 5 min. Používáme chmel o 8 % α-hořkých látek – první chmelení 15 g, druhé 15 g a třetí chmelení pomocí 30 g chmelu o 12 %. Objem mladiny je 20 L. Během chmelovaru uvažujeme stálou teplotu varu 100 °C a po chmelovaru ochladíme mladinu během 20 min na 70 °C.

Úkol: Vypočtěte profily látek v čase a poté odhadněte konečné IBU piva za předpokladu, že vaříme 14 °P pivo. Následně porovnejte výsledky s Tinsethovo formulí.

Ostatní výpočty jsme si tedy už ukázali v předchozích příkladech a rovnou tedy postoupíme k výsledkům. Pokuste se nejprve výpočet sami provést a pak se na výsledky podívejte opět do Excelu ZDE.

Na výsledcích profilů koncentrací jsou krásně vidět jednotlivá chmelení (zuby). Na profilu iso látek je také ale hlavně vidět, že i po ukončení varu během chlazení ještě stále vznikají iso látky a to poměrně v nezanedbatelném množství.

Na konec si tedy můžeme vyjádřit celkově koncentraci redukovanou o adsorpci na kaly a kvasinky a porovnat to s výsledky Tinsethovy formule. Dle:

Na následujícím grafu je velmi dobře vidět, že pokud se podíváme pouze na samotnou dobu varu, tak z našeho modelu dostaneme v podstatě úplně stejnou hodnotu IBU, jako z Tinsethovy formule. Problém nastává s tím, co se děje nebo neděje po ukončení varu. IBU – nový model = 45; Tinseth = 34

Základní Tinsethova formule totiž uvažuje, že po varu už iso látky nevznikají. Jak je ale vidět, tak když chladíme rychlostí na 70 °C za 20 minut, což se často může bez problémů stát, tak nám IBU vzroste ještě o 11 jednotek, což tedy u cca 34 IBU piva může být už poměrně zásadní změna, kterou asi dokážeme rozpoznat i na chuti. Pokud budeme chladit rychleji, tak rozdíl bude samozřejmě menší. Tady jsme také použili poměrně hodně chmele na pozdní chmelení 5 minut před koncem, čím méně chmele budeme směřovat ke konci, tak tím méně se bude lišit rozdíl Tinsethovy formule a naší nové metody.

Takto už jsme si tedy ukázali kompletní výpočet chmelení pomocí tohoto modelu a dokonce i jeho výhody. Jednotlivé kroky opět naleznete v připojeném souboru ZDE.

Pozn: Teplotní profil samozřejmě nemusí být během celého chlazení lineární. Zejména během počátečního chlazení bude mladina vlivem vysokého rozdílu teplot (chladivo vs. mladina) chladnout mnohem rychleji, než při dochlazování. To je potřeba řešit tím, že během chlazení budete měřit teplotu častěji, abyste získali menší úseky výpočtu, kde teplotní profil lineární přibližně je. Opět tedy stejný princip s odhadováním toho, co bude v budoucnu na základě toho co známe teď.

Obecný postup použití modelu

Jistě jste si řekli, že i když je tento nový model velmi hezký a funguje skvěle, tak je poměrně pracné si pokaždé upravovat a vytvářet novou tabulku. Na poprvé je dobré si to prostě zkusit a osahat, ale napříště už bychom rádi pouze nasypali data a dostali výsledky. Je tedy potřeba si postup zautomatizovat.

Vstupní data tohoto modelu, budeme označovat jako schéma chmelovaru – potřebujeme znát časy a množství chmelení ve specifických časech a také teplotní profil v závislosti na čase.

Náš postup si tedy musíme rozdělit na časové úseky, v kterých se děje (mění) něco důležitého. Je jedno, jestli je tento zajímavý děj přidání chmele nebo se „pouze“ změnila teplota. Každou změnu zaznamenáme do podrobné tabulky, jakou si ukážeme v následujícím příkladu.

Aby byl váš výpočet, co nejpřesnější, nesmíte zanedbat zanesení dostatku dat o změně teplot zejména v období, kdy hřejeme a chladíme.

Pokud používáte hlávkový chmel, nezapomeňte využít korekci chmelení, jak jsme si ukázali v předchozím článku. V tomto článku ale všude uvažujeme častější pelety, a tudíž korekci nepotřebujeme. V programu v Excelu, který vám dále dávám k dispozici, je možno formu chmelu jednoduše volit. Připomeňme si ještě korekci z minulého článku:

Příklad 4: Pro náš recept platí následující: objem mladiny po varu 20 L a bude to čtrnáctka.

První chmel jsme použili jako FWH to znamená, že ještě než začal var. Na FWH jsme použili 15 g chmele o 10 % α-látek a přidali jsme ho do díla, které mělo teplotu 70 °C.

Dílo jsme poté ohřívali a měřili teploty následovně. Za deset minut od přídavku chmele jsme dosáhli teploty 85 °C, za dalších deset minut 95 °C a za dalších deset minut jsme dosáhli varu 100 °C.

Při dosažení varu jsme přidali další dávku chmele - tentokrát 10 g chmele o 8 % α. Chmelovar jsme provedli 60 minutový a chmelili jsme dále 10 g 8 % α při 30 minutách a 10 g 12 % α při 5 minutách.

Po ukončení chmelovaru jsme během 10 minut ochladili mladinu na 85 °C a přidali chmel do Whirlpoolu (30 g, 11 % α). Mladina nám pak 20 minut samovolně chladla na 75 °C a poté jsme ji rychle zchladili (během 10 min na 60 °C).

Úkol: Odhadněte průběh koncentrací a konečného IBU pomocí nového modelu a pomocí Tinsethovy formule.

Dříve než se ve všech údajích ztratíme, sestavíme si schéma chmelovaru:

Výpočet tady můžeme provést stejným způsobem, který jsme si ukázali v předchozích příkladech. Pro tento příklad už jsem však připravil obecný program v Excelu, který dokáže počítat a znázorňovat tuto metodu obecně, právě na základě zadání schéma chmelovaru. Tudíž si s ním můžete hrát a vyzkoušet ho. Nebudu vás tedy trápit složitým výpočtem ručně, ale vyzkoušejte si použití programu ZDE.

My si teď diskutujme až výsledky.

Diskuze výsledku a porovnání s programem BeerSmith

Je poměrně zajímavé porovnat výsledky s tím, co nám vypočítá například program BeerSmith pro stejné zadání. BeerSmith však počítá Whirlpool pouze nad 85 °C, to znamená, že z něj vlastně pro toto zadání nedostaneme nic navíc oproti našemu výpočtu z Tinsethova vzorce, protože chmel přidáváme až při 85 °C a pak nám dílo chladne. Nemáme to tedy jak v BeerSmithu odhadnout.

Jak jsme si ukázali, rychlost isomerizace velmi zásadně závisí na tom, jakou teplotu máme, tudíž pokud jako BeerSmith uvažujeme stejnou isomerizaci pro jakékoli provedení Whirlpoolu, nebo někde uděláme tlustou čáru a menší teploty už nepočítáme, dopouštíme se menší či větší chyby a hlavně se posuneme od rozumného odhadu spíše k věštění.

Ukažme si rychle ještě variaci tohoto příkladu, která nám lépe poslouží pro porovnání s výsledky BeerSmithu. Ten počítá totiž standardně s 20 minutovým Whirpoolem při teplotě nad 85 °C (v nové verzi 2.3 jdou nastavit i jiné délky). Ukažme si, jestli má smysl počítat Whirlpool takto jednoduše, prostě bez ohledu na konkrétní teplotu, a jestli pouze stačí říci, že se držíme nad 85 °C a šmitec… asi chápete, že to nestačí. Jinak bych se na to neptal, ale ukažme si to.

Nejprve si ale řekněme, že výsledek pro naše zadání z BeerSmith 2.2 je 51 IBU a z BeerSmith 2.3 je 56 IBU (za pomoc s těmito čertovskými nástroji děkuji Martinovi „Grádyšovi“ Březovi, protože já jsem si k nim nikdy cestu nenašel a asi nenajdu).

Můžeme si teď pomoci úpravou schématu v mém programu a vypočítat IBU při různých teplotách Whirlpoolu. Změňme pouze teploty během přídavku chmele a před chlazením. Tzn. např. pro 95 °C Whirlpool se změní schéma Whirlpoolu na:

Zbytek schéma a zadání ponecháme stejné. Měníme tedy pouze teploty Whirlpoolu a chceme si ukázat výsledek při Whirlpoolu pro 95 °C, 90 °C, 85 °C, 75 °C a 65 °C. Výsledky můžete vidět shrnuty na následujícím grafu:

Z výsledků na tomto grafu můžete snadno vidět, že BeerSmith nám dává poměrně dobrý odhad IBU pro teplotu Whirlpoolu 85-90 °C, což je poměrně dobré zjištění, protože znamená, že při teplotách na které je „stavěný“ docela dobře funguje. Problém je zejména pokud provedeme chmelení při vyšší nebo nižší teplotě, protože výsledky se liší i o 10 IBU, což už může být poměrně zásadní a znatelná změna. Pokud bychom tedy provedli Whirlpool při 95 °C tak z BeerSmith dostaneme asi o 11-16 IBU nižší IBU (v závislosti na verzi programu), než odpovídá odhadu na základě přesné teploty. Naopak pokud ho provedeme při 65 °C tak nám BeerSmith odhadne o 9-14 větší IBU, než teplotě odpovídá.

Rozdíl mezi 20 min Whirlpoolem při 75 °C a 95 °C je 25 IBU a to už je poměrně zásadní rozdíl pro hořkost piva, který není dobré zanedbat. Teplota má tedy naprosto zásadní vliv a BeerSmith to umí postihnout pouze pro použité teploty mezi 85-90 °C, na které je „stavěný“.

Z toho tedy plyne ta nejzásadnější výhoda mého nového výpočtu – je naprosto univerzální.

To znamená – nemusíte se starat o to, jestli pro Váš postup zrovna BeerSmith umí nebo neumí počítat. Prostě jednoduše zadáte teploty a časy, které dodržujete a dostanete kvalifikovaný rozumný odhad výsledného IBU.

Můžete si snadno taky zkoušet a hrát s otázkami typu - no a co když? – už nemusíte věštit z křišťálové koule, ale snadno je vypočtete.

Má vliv FWH na hořkost, nebo je to jako bychom ho přidali při 60 min? Odpověď máte hned na dosah… a nemusíte zavádět nějaké předpoklady, nebo „pseudokorekční“ koeficienty.

Co víc k novému modelu říci? Myslím, že už jsem toho řekl dost, zbytek si už můžete vyzkoušet sami.

Petr Novotný


DŮLEŽITÉ UPOZORNĚNÍ: Vyskytl se oprávněný dotaz, jaký objem a stupňovitost by se měly do modelu dosadit. V článku jsem tuto informaci opomněl, protože mě to nenapadlo zvlášť vypíchnout. Jediný správný objem, který byste měli do výpočtu sázet je - objem mladiny po schlazení včetně kalů a chmelového mláta. Co se týče stupňovitosti dosazujte - EPM = sílu vašeho piva, odpovídá síle mladiny před zakvašením. Pak dosáhnete nejlepší přesnosti odhadu. Pokud vás zajímá proč jsou správně zrovna tyto údaje, čtěte dále pod tabulkou symbolů.*

PROGRAM PRO VÝPOČET NOVOU METODIKOU KE STAŽENÍ ZDE

MANUÁL K PROGRAMU ZDE

Poněvadž je program nový, můžou se vyskytnout neočekávané komplikace. Veškeré problémy a připomínky mi prosím hlašte a já se postarám o nápravu. Případně poradím s tím, co děláte špatně.

V brzké době pravděpodobně možná zpracuji kompletní a detailní manuál, pokud na základě Vašich reakcí bude potřeba.

____________________________________________________
* Protože jsou reakce isomerizace a degradace reakcemi prvního řádu (nebo alespoň pseudoprvního), mají charakter pravděpodobnosti a nezávisí na tom, jak moc je látka koncentrovaná. Prostě proto, že k tomu, aby reakce proběhla, není potřeba, aby ta molekula potkala někoho dalšího. Vystačí si sama. Proto je výpočtu zcela jedno, jaký objem do něj dosadíte. Vždycky to dopadne tak, že celkové množtví molekul bude stejné. Lišit se ale bude koncentrace, která se odvíjí od toho, kolik těch molekul bude na litr, a tedy od toho, jaký objem jste zvolili. Můžeme to ale snadno přepočítat, nebo ještě lépe už od začátku počítáme s objemem, který nás zajímá. Nás zajímá IBU mladiny (piva) takže se potřebujeme dostat ke koncentraci, která odpovídá objemu, který nám reprezentuje naši poslední koncentraci. Tudíž nás to zajímá na objem mladiny po schlazení včetně kalů. Proč včetně kalů? No protože s kaly ztratíme část mladiny, kdybychom to tedy napočetli na objem bez kalů (v kvasné nádobě) tak vlastně říkáme, že se to zahustilo víc, než je pravda. Zanedbali bychom totiž ztrátu mladiny (a tak i hořkých látek) v kalech.

Pokud tedy budeme počítat objem sladiny, tak si IBU podhodnotíme a spárvné bude vyšší. Pokud naopak zvolíme objem mladiny po odstranění kalů, tak IBU nadhodnotíme a správné bude nižší. To jak velkou chybu uděláme, bude záviset na tom, jak velký máme odpar a nebo ztráty do kalů. Proto chybu nedělejte a počítejte rovnou se správným objemem. ;-)

Co se týče stupňovitosti, tak odpověd je skryta v rešerši z této série článků. Člen se sílou mladiny pochází ze ztráty do kalů (neovlivňuje tedy samotnou reakci), kolik se toho na kaly naadsorbuje závisí hlavně na tom, kolik kalů bude na konci a to zobrazujeme skrze sílu mladiny samozřejmě také na konci. Je tedy nesmysl průměrovat třeba sílu sladiny a mladiny a tu dosazovat. Neuděláte tím velkou chybu, protože rozdíl síly není velký a závislost není silná. Nicméně si opět nekomplikujte život a dosazujte sílu mladiny (tj. EPM).
______________________________________________________

Poděkování: Za testování programu a podnětné poznámky děkuji Martinu Urbanovi. Za revizi také děkuji Jirkovi Valovi, který vyladil některé mé pravopisné prohřešky. Oba byli cennou zpětnou vazbou ohledně tohoto seriálu, tak abych vychytal většinu nesrozmutelností a chybek dříve, než jsem to vypustil mezi všechny.

Literatura

[1]          S. Kappler, M. Krahl, C. Geissinger, T. Becker, M. Krottenthaler, Degradation of Iso-α-Acids During Wort Boiling, J. Inst. Brew. 116 (2010) 332–338. doi:10.1002/j.2050-0416.2010.tb00783.x.

[2]          T.H.H.S. Hellhammer, Isomerization and Degradation Kinetics of Hop (Humulus, (2005) 4434–4439.

[3]          B. Jaskula-Goiris, G. Aerts, L. De Cooman, Hop ??-acids isomerisation and utilisation: An experimental review, Cerevisia. 35 (2010) 57–70. doi:10.1016/j.cervis.2010.09.004.

[4]          B.J.S. Hough, J.R. Hudson, Brewing Industry Research Foundation, Nature. 181 (1958) 810–810. doi:10.1038/181810c0.

[5]          D.E. Briggs, C. a. Boulton, P. a. Brookes, R. Steven, Brewing: science and practice, 2004. doi:10.1002/jsfa.2344.

[6]          B. Jaskula, P. Kafarski, G. Aerts, L. De Cooman, A kinetic study on the isomerization of hop α-acids, J. Agric. Food Chem. 56 (2008) 6408–6415. doi:10.1021/jf8004965.

[7]          B. Jaskula, G. Aerts, L. De Cooman, Potential impact of medium characteristics on the isomerisation of hop α-acids in wort and buffer model systems, Food Chem. 123 (2010) 1219–1226. doi:10.1016/j.foodchem.2010.05.090.

[8]          MarkG.Malowicki, Hop Bitter Acid Isomerization and Degradation Kinetics in a Model Wort-Boiling System, (2004).